أسس التحليل الرياضي ونظرية القياس

تأليف : أ.د. عبدالرحمن بن سليمان الحسين

عدد الصفجات : 620 صفحة

الطبعة الثانية : فبراير 2023م

يستهدف هذا الكتاب طلبة البكالوريوس والماجستير والباحثين ومن يستعد لإجراء امتحان شامل في مرحلة الدكتوراه على حدٍّ سواء،

فلعلّه يكون إضافة قويةوداعماً لهم في الرياضيات والتخصصات الأخرى المرتبطة بها.فمن يرغب في الحصول على مقدمة في تكامل ريمان ومتتاليات ومتسلسلات الدوال ونظرية القياس والتكامل بمفهوم لبيق سيجد مبتغاه، ومن يرغب في تعلّم أسس التحليل الرياضي بعمق فسيجد أيضاً مبتغاه.

يبدأ الكتاب بمقدمة تاريخية في الباب الأول ثم يتناول تكامل ريمان فيR وR^nبما يسهّل عملية الانتقال من مفهومي الطول على الفترات والمساحة تحت منحنى دالة إلى محتوى (قياس جوردان) على مجموعة قابلة لقياس جوردان وتكامل ريمان عليها. يتحول بعدها للحديث عن التكامل على السطوح والمانيفولدات.وهذا يشجع الباحث على التعميم من مجموعة قابلة لقياس جوردان إلى مجموعة قابلة لقياس لبيق ومن قياس جوردان إلى قياس لبيق ومن تكامل ريمان إلى تكامل لبيق في الثلاثة أبواب: الرابع والخامس والسادس.

متتاليات ومتسلسلات الدوال تنفرد بدراسة واسعة وبنتائج حديثة تغطي حقبة امتدت لأكثر من مئة سنة خلال القرنين الماضيين بدءاً من أعمال أويلر وفوريير حول مسألة تقارب معاملات فوريير لدالة قابلة للتكامل.

البراهين معروضة هنا بمنهجية سلسة تهدف إلى غرس مفاهيم التحليل لدى القارئ إذا فهمها وحل بعض التمارين الموزعة بالمئات على جميع الفصول، وربما أنجز مشروعاً من ضمن مقترحات مشاريع التخرجالمعطاة في المقدمة.

يحتوي الكتاب على خطة لدراسته وتدريسه لتسهّل على القارئ(ة) والأستاذ(ة) آلية التعامل مع الكتاب وتدريسه في عدد من المقررات.

الكتاب مطبوع بالألوان وبلغة لاتيك.

This book is aimed at bachelor's and master's level, and also for researchers and those who are preparing to take a PhD comprehensive exam.Perhaps, it will be a strong addition and support for them in mathematics and other related disciplines. Indeed, whoever wants to get an introduction to Riemann integration, sequences and series of functions, measure theory and integration with a tactful concept will find what he/she wants in this book, and whoever wants to learn the foundations of mathematical analysis in depth will also find what he/she wants as well.

The book begins with a historical introduction in the first chapter, then deals with the Riemann integral in R and R^n in order to facilitate the process of moving from the concepts of length over intervals and area under the curve of a function to a content (Jordan measure) on a Jordan measurable set and Riemann integration on it. Then it turns to talk briefly about integration on surfaces and manifolds. This encourages the researcher to generalize from a Jordan measurable set to a Lebesgue measurable set, and from Jordan measure to Lebesgue measure, and from Riemann integration to Lebesgue integration in the three chapters: fourth, fifth, and sixth.

Sequences and series of function are provided in a self-contained study with recent results covering a period that spanned more than a hundred years during the past two centuries, starting with the work of Euler and Fourier on the issue of convergence of Fourier coefficients for an integrable function.

The proofs are presented here with a smooth methodology that aims to inculcate the concepts of analysis in the reader if he/she understands them, solves some exercises that are distributed in hundreds over all chapters, and perhaps accomplishes a project from the list of graduation projects given in the introduction.

The book contains a detailed plan for studying and teaching to make it easier for the reader and professor to deal with the book and teach it in a number of courses.

The book is written using LaTeX and is printed in colour. It is already published in Arabic language with 6 chapters, 620 pages and 17 figures, see the link